Curvature

步驟

選取一條曲線。

標記在曲線上移動時，狀態列會顯示曲線在標記所在位置的半徑，同時會顯示一個黑色的圓 (曲率圓) 及一條白色的直線 (正切線)，黑色的圓與白色的直線在標記所在的位置與曲線正切。

白色點是曲線某一部分曲率最大的點，曲率在白色點的兩段逐漸變小。

黑色點是曲線某一部分曲率最小的點 (反曲點、曲率為 0)，曲線的曲率圓在經過黑色點時會從一側跳到另一側。

指定一點畫出曲率圓，或按 Esc 結束指令。

分析曲面的曲率

選取一個曲面。

標記在曲面上移動時會顯示兩個圓弧，這兩個圓弧的半徑是曲面在標記所在位置的最大半徑與最小半徑。

在曲面上指定一點。

附註

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平滑的曲線上的每一個點都有一個最近似的圓 (曲率圓)。

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滑鼠標記可以自動鎖定反曲點 (曲率由正轉負的點)。

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平滑的曲面上的每一個點會有兩個圓弧，這兩個圓弧總是相互垂直。

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主要曲率是圓弧半徑的倒數。

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當曲面上的一個點的兩個曲率圓弧位於曲面的同一側時，高斯曲率是正數，位於不同側時高斯曲率是負數。兩個曲率圓弧有一個是直線時，高斯曲率為 0。

在量測點放置一個點物件，並畫出曲線或曲面在該點的曲率圓或圓弧。

曲線的直線部分，或是曲線的曲率反轉點 (曲率圖形或曲率圓從曲線的一側變換到另一側的點) 曲率為 0，Rhino 並無法自動找到這個點，但您可以手動標示這個點。

曲線曲率

要了解曲面上一個點的高斯曲率必需先知道什麼是曲線的曲率。

曲線上的任何一點都有一條與該點正切的直線，我們也可以找出與該點正切的圓，這個圓的半徑倒數是曲線在該點的曲率。

曲線上某一點的正切圓有可能位於曲線的左側或右側，為了做區分，我可以將曲率加上正負符號，正切圓位於曲線左側時曲率為正數，位於曲線右側時曲率為負數，這種表示方式稱為有正負的曲率。

One generalization of curvature to surfaces is normal section curvature. Given a point on the surface and a direction lying in the tangent plane of the surface at that point, the normal section curvature is computed by intersecting the surface with the plane spanned by the point, the normal to the surface at that point, and the direction. The normal section curvature is the signed curvature of this curve at the point of interest.

以許多不同方向的平面切過曲面上的同一點，會產生許多斷面線，每一條斷面線在該點的曲率都不同，其中必定有一個最大值和最小值。

曲面曲率

高斯曲率是曲面上一個點的最大主要曲率與最小主要曲率的乘積。高斯曲率為正數時，代表曲面上該點的最大主要曲率與最小主要曲率的斷面線往曲面的同一側彎曲。高斯曲率為負數時，最大主要曲率與最小主要曲率的斷面線往曲面的不同側彎曲。高斯曲率為 0 時，最大主要曲率與最小主要曲率的的斷面線之一是直的 (曲率為 0)。

曲面上一個點的最大曲率和最小曲率稱為主要曲率，高斯曲率和平均曲率都是由最大主要曲率與最小主要曲率計算而來。

平均曲率是曲面上一個點的最大主要曲率與最小主要曲率的平均數，曲面上一個點的平均曲率為 0 時，該點的高斯曲率可能是負數或 0。

一個曲面上任意點的平均曲率都是 0 的曲面稱為極小曲面 (Minimal Surface)。一個曲面上任意點的平均曲率都是固定的曲面稱為定值平均曲率 (Constant Mean Curvature, CMC) 曲面。

肥皂泡 (不論是漂浮在空中或附著在物件上) 是 CMC 曲面的一個例子。肥皂泡 (非肥皂膜) 包含著一個封閉空間，肥皂泡內部的壓力比外部的壓力要大一些，但由肥皂泡的表面張力所平衡，達成內外均衡。

極小曲面是屬於 CMC 曲面的一種，曲面上的任意點的曲率都是 0。

附著於鐵絲圈上的肥皂膜是極小曲面的一個例子，因為肥皂膜兩側的壓力相同，肥皂膜不會因為氣壓而變形，使肥皂膜的表面積最小化。這種情形和肥皂泡不同，肥皂泡包含著固定量的空氣，但內外壓力不同。