Curvature

원의 반지름을 사용하여 커브 또는 서피스 상의 한 점에서 곡률을 계산합니다.

마크의 위치에 있는 커브의 곡률은 반지름이 상태 표시줄에 표시되며, 곡률과 동일한 반지름을 가진 검은 원이 마크가 있는 위치에서 커브에 접하여 표시됩니다. 커브의 하얀 접선도 표시됩니다.

흰 점은 커브에서 곡률이 해당 점의 두 방향으로 작아지기 시작하는 부분의 최대 곡률 점을 표시합니다.

검은 점은 곡률 원이 커브의 한쪽에서 다른쪽까지 급격한 차이를 나타내는 부분의 최소 곡률점을 표시합니다. 검은 점에서의 곡률은 항상 0입니다.

커서를 이동함에 따라 그 점에서 최소 곡률과 최대 곡률을 표시하는 두 개의 반원이 나타납니다.

매끄러운 커브에 있는 모든 점에는 그 지점에서의 곡률에 가장 근사한 원이 있습니다.

커서는 자동으로 커브 변곡점(곡률의 사인이 변경되는 곳)에 스냅합니다.

매끄러운 커브에 있는 모든 점에는 비슷한 원이 있습니다. 가장 큰 반지름을 가진 원은 가장 작은 반지름을 가진 원에 언제나 직교합니다.

가우스 곡률은 양쪽의 반원이 같은 방향을 향하고 있는 경우에는 양의 값이며, 반대 방향을 향하고 있는 경우는 음의 값이 됩니다. 두 반원 중 하나가 선으로 퇴화된 경우에는 가우스 곡률이 0이 됩니다.

커브 상에서 계산되는 점에 점 개체와 곡률의 원 또는 반원을 배치합니다.

이것은 곡률의 반지름이 무한대로 계산할 수 없는 경우(커브의 팽창 방향이 바뀌는 변곡점 등에서, 곡률이 0 이고 커브는 일부분이 직선이 되어 있는), 항상 피드백으로 사용할 수 있습니다. 이것은 변곡점을 찾는 것을 자동화하지 않지만 수동으로 표시할 수 있게 합니다.

커브 곡률

서피스에 있는 점의 가우스 곡률을 이해하려면, 먼저 커브의 곡률을 알아야 합니다.

평면에 있는 커브의 어느 점의 위치에서도, 이 점을 통과하는 커브의 근사값을 가장 잘 나타내는 선을 접선이라고 합니다. 또한 커브에 접하고 이 점을 통과하는 형상의 근사값을 가장 잘 나타내는 원을 구할 수 있습니다. 이 원의 반지름의 역수가 이 점에서의 커브의 곡률입니다.

커브의 근사값을 가장 잘 나타내는 원은 커브의 오른쪽 또는 왼쪽에 있을 수 있습니다. 이 구별이 중요한 경우, 관례적으로 원이 왼쪽에 있는 경우는 그 곡률을 양의 곡률로 보고, 오른쪽에 있는 경우에는 음의 곡률로 봅니다. 이를 부호가 붙은 곡률이라고 합니다.

곡률을 일반화하여 서피스에도 맞추는 개념으로 법곡률(Normal section curvature :법절단 곡률이라고도 함)이 있습니다. 서피스에 있는 점과, 그 점 위치에서 서피스 접평면의 방향을 선택합니다. 법곡률의 계산 방법은 그 점과, 그 점에서의 서피스 법선과 그 점에서의 선택된 방향선으로 정의된 평면을 서피스와 교차시킵니다. 그 결과로 나온 커브의 곡률을 계산합니다. 법곡률은 선택된 점에서의 부호가 붙은 곡률입니다.

점의 위치에서 서피스에의 접평면 위의 모든 방향을 봤을 때, 또한 이 모든 방향에서 법곡률을 계산했을 때는 최대값과 최소값이 있습니다.

서피스 곡률

가우스 곡률

한 점에서 서피스의 가우스 곡률은 그 점에서의 주 곡률의 곱입니다. 양의 가우스 곡률이 있는 점에서의 접평면은 서피스와 한 점에서만 접하지만, 음의 가우스 곡률이 있는 점에서의 접평면은 서피스를 분할합니다. 평균 곡률이 0인 점은 가우스 곡률의 값이 0이거나 음의 값입니다.

주 곡률

한 점에서 서피스의 주 곡률은 그 점에서 법곡률의 최소값과 최대값입니다(주어진 점에서 접벡터를 포함하는 평면에 있는 서피스의 커브의 법곡률). 주 곡률을 사용하여 서피스의 가우스 곡률과 평균 곡률을 계산합니다.

평균 곡률

서피스에 있는 점에서 평균 곡률은 그 점에서의 주 곡률의 합의 1/2입니다. 평균 곡률이 0인 점은 가우스 곡률의 값이 0이거나 음이 값입니다.

모든 점에서 평균 곡률이 0인 서피스는 극소곡면이라고 합니다. 모든 점에서의 평균 곡률의 값이 일정한 서피스는 상수 평균 곡률 곡면(CMC -Constant Mean Curvature - Surface)이라고 불립니다.

상수 평균 곡률 곡면은 모든 점에서의 평균 곡률의 값이 일정합니다.

상수 평균 곡률 곡면은 모델링할 수 있는 물리적인 프로세스의 예로는 비눗방울(자유롭게 날고 있는 경우와 개체에 붙어 있는 경우)이 있습니다. 단순한 비누막과는 달리, 비눗방울은 체적을 가지며, 외부보다 다소 높은 비눗방울 내부의 압력과 비눗방울 자체의 표면적을 최소화하려는 힘이 균형을 이루고 있는 상태입니다.

극소곡면은 모든 점에서 곡률이 0인 상수 평균 곡률 곡면의 부분 집합입니다.

극소곡면으로 모델링할 수 있는 물리적 프로세스의 예로는 고정된 주형(철사 고리)에 매달린 비누막이 있습니다. 비누막은 기압에 의해 변형되지 않고(양쪽의 압력이 같으므로) 표면적을 가장 작게 하는 힘으로부터 자유롭습니다. 이것은 일정한 공기의 양을 가지고 있어 내부와 외부의 압력이 다른 비눗방울과 대조적입니다.

이 명령은 어디에서 찾을 수 있습니까?

커브 곡률

서피스 곡률

참고 항목