Courbure

Évalue la courbure d'une courbe ou d'une surface en un point en utilisant le rayon d'un cercle.

Le rayon de courbure de la courbe au point où se trouve le marqueur est affiché dans la barre d'état et un cercle noir de ce rayon et tangent à la courbe est affiché à l'emplacement du marqueur. Une ligne blanche tangente à la courbe est aussi dessinée.

Les points blancs marquent les points de courbure maximum dans une portion de la courbe où la courbure commence à diminuer dans les deux directions à partir des points.

Les points noirs marquent les points de courbure minimum où le cercle de courbure saute d'un côté à l'autre de la courbe. La courbure au niveau des points noirs est toujours nulle.

Cliquez pour marquer la courbure avec un cercle ou appuyez sur Échap pour terminer la commande.

Lorsque vous déplacez le curseur, deux demi-cercles affichés vous indiquent la courbure minimale et la courbure maximale de la courbe en ce point.

En tout point d'une courbe lisse il existe un cercle qui se rapproche le plus de cette courbe en cette position.

Le curseur s'accroche automatiquement sur les points d'inflexion de la courbe (là où le signe de courbure change).

En tout point d'une surface lisse il existe deux cercles de ce type. Le cercle de plus grand rayon est toujours perpendiculaire au cercle de plus petit rayon.

La courbure gaussienne est positive quand les deux demi-cercles ont la même direction, négative lorsque leur direction est opposée et nulle si un des cercles se transforme en une ligne.

Place un objet ponctuel et dessine le cercle ou les demi-cercles de courbure au niveau du point analysé sur la courbe.

Ceci permet d'avoir des indications permanentes lorsque le rayon de courbure est infini (courbure égale à zéro, la courbe est plane localement, par exemple aux points d'inflexion lorsque le bombement de la courbe change d'un côté à l'autre) et ne peut donc pas être analysé. Cette technique ne permet pas de trouver automatiquement les points d'inflexion mais elle vous permet de les marquer manuellement.

Courbure de courbe

Pour comprendre la courbure gaussienne d'un point sur une surface vous devez tout d'abord savoir ce qu'est la courbure d'une courbe.

En tout point d'une courbe dans un plan, la ligne se rapprochant le plus de la courbe qui passe par ce point est la ligne tangente. Nous pouvons aussi rechercher le cercle passant par ce point, se rapprochant le plus de la courbe et tangent à celle-ci. L'inverse du rayon de ce cercle est la courbure de la courbe en ce point.

Le cercle se rapprochant le plus de la courbe peut se trouver à gauche ou à droite de celle-ci. Compte tenu de ce fait, nous pouvons alors convenir de donner le signe positif à une courbure si le cercle se trouve à gauche et négatif si le cercle se trouve à droite de la courbe

La courbure de section normale est une généralisation de la courbure appliquée aux surfaces. Soit un point sur une surface et une direction reposant sur le plan tangent à la surface en ce point, la courbure de section normale est calculée en prenant l'intersection de la surface avec le plan défini par ce point, la normale de la surface en ce point et la direction La courbure de section normale est la courbure positive ou négative de cette courbe au point en question.

Si nous regardons dans toutes les directions dans le plan tangent à la surface au point en question et si nous calculons la courbure de section normale dans toutes ces directions, nous obtiendrons une valeur maximale et une valeur minimale.

Courbure d'une surface

courbure gaussienne

La courbure gaussienne d'une surface en un point est le produit des courbures principales en ce point. Le plan tangent de tout point dont la courbure gaussienne est positive touche la surface en un seul point, alors que le plan tangent de tout point dont la courbure gaussienne est négative coupe la surface. Tout point dont la courbure moyenne est nulle présente une courbure gaussienne négative ou nulle.

Courbures principales

Les courbures principales d'une surface en un point sont les valeurs minimale et maximale des courbures normales en ce point. (Les courbures normales sont les courbures des courbes sur la surface reposant sur les plans contenant le vecteur tangent au point en question). Les courbures principales sont utilisées pour calculer les courbures gaussienne et moyenne de la surface.

Courbure moyenne

La courbure moyenne d'une surface en un point est la moitié de la somme des courbures principales en ce point. Tout point dont la courbure moyenne est nulle présente une courbure gaussienne négative ou nulle.

Les surfaces dont la courbure moyenne est nulle en tout point sont des surfaces minimales. Les surfaces dont la courbure moyenne est constante en tout point sont souvent appelées surfaces à courbure moyenne constante (CMC).

Les surfaces CMC ont la même courbure moyenne en tout point.

Les surfaces CMC peuvent être utilisées pour modéliser des procédés physiques tels que la formation de bulles liées à des objets ou libres. Une bulle, à la différence d'un simple film, contient un volume et existe dans un équilibre où une pression un peu supérieure à l'intérieure de la bulle est compensée par les forces de surface minimale de la bulle elle-même.

Les surfaces minimales forment le sous-ensemble des surfaces CMC dont la courbure est nulle en tout point.

Les surfaces minimales peuvent être utilisées pour modéliser des procédés physiques tels que la formation de films liés à des objets fixes comme des cercles de fils de fer. Un film n'est pas déformé par la pression de l'air (qui est égale des deux côtés) et il est possible de minimiser son aire. Ce qui n'est pas le cas pour la bulle, qui renferme une quantité fixe d'air et dont les pressions sont différentes à l'intérieur et à l'extérieur.

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Courbure de courbe

Courbure d'une surface

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