Krümmung

Berechnet die Krümmung an einem Punkt auf einer Kurve oder Fläche anhand eines Kreisradius.

Der Krümmungsradius der Kurve beim Marker wird in der Statuszeile angezeigt und ein schwarzer Kreis dieses Radius wird tangential zur Kurve am Marker angezeigt. Es wird auch eine weiße Linie tangential zur Kurve angezeigt.

Weiße Punkte markieren die maximalen Krümmungspunkte in einem Kurventeil, an dem die Krümmung beginnt, in beide Richtungen von den Punkten aus abzunehmen.

Schwarze Punkte markieren die minimalen Krümmungspunkte, an denen der Krümmungskreis von einer Seite der Kurve zur anderen springt. Die Krümmung an den schwarzen Punkten beträgt immer 0.

Klicken Sie, um die Krümmung mit einem Kreis zu markieren, oder drücken Sie die Esc-Taste, um den Befehl zu beenden.

Während Sie den Mauszeiger verschieben, zeigen zwei Halbkreise die minimale und maximale Krümmung an diesem Punkt auf der Kurve an.

Jeder Standort auf einer glatten Kurve besitzt einen Kreis, der sich an diesem Standort der Kurve nähert.

Fängt automatisch an Wendepunkten von Kurven (wo das Zeichen der Krümmung geändert wird).

Jeder Standort auf einer glatten Fläche besitzt zwei solcher Kreise. Der Kreis mit dem größten Radius befindet sich immer senkrecht zum Kreis mit dem kleinsten Radius.

Die Gaußsche Krümmung ist positiv, wenn beide Halbkreise in die gleiche Richtung zeigen, negativ, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen zeigen, und gleich null, wenn einer der Halbkreise in eine Linie entartet.

Platziert ein Punktobjekt und den Krümmungskreis oder Halbkreise am ausgewerteten Punkt auf einer Kurve.

Ergibt permanente Rückmeldungen, wenn der Krümmungsradius unendlich ist (Krümmung ist Null, die Kurve ist flach, z. B. an Wendepunkten, wo die Kurvenausbuchtung von einer Seite auf die andere ändert) und nicht ausgewertet werden kann. Die Suche nach den Wendepunkten wird nicht automatisiert, aber sie können manuell markiert werden.

Kurvenkrümmung

Um die Gaußsche Krümmung eines Punktes auf einer Fläche verstehen zu können, müssen Sie zuerst wissen, was die Krümmung einer Kurve ist.

An jedem beliebigen Punkt auf einer Kurve in der Ebene ist die tangentiale Linie die Linie, die sich der Kurve durch diesen Punkt am meisten nähert. Wir können auch den Kreis finden, der sich am meisten nähert, durch diesen Punkt verläuft und tangential zur Kurve liegt. Der Kehrwert des Radius dieses Kreises ist die Krümmung der Kurve an diesem Punkt.

Der beste annähernde Kreis befindet sich wahrscheinlich entweder links der Kurve oder rechts davon. Wenn das wichtig ist, treffen wir eine Abmachung und geben z. B. der Krümmung ein Pluszeichen, wenn der Kreis links, und ein Minuszeichen, wenn der Kreis rechts von der Kurve liegt. Das wird Krümmung mit Zeichen genannt.

Die Krümmung von normalen Schnittkurven ist eine Verallgemeinerung der Krümmung an Flächen. Bei einem Punkt auf der Fläche und einer Richtung auf der tangentialen Ebene der Fläche an diesem Punkt, wird die Krümmung normaler Schnittkurven berechnet, indem die Fläche mit der durch diesen Punkt definierten Ebene, der Flächennormalen an diesem Punkt und der Richtung geschnitten wird. Die Krümmung von normalen Schnittkurven ist die Krümmung mit Zeichen dieser Kurve am Punkt von Interesse.

Wenn wir alle Richtungen in der an der Fläche tangentialen Ebene an unserem Punkt betrachten und die Krümmung von normalen Schnittkurven in all diesen Richtungen berechnen, wird es einen maximalen und minimalen Wert geben.

Flächenkrümmung

Gaußsche Krümmung

Die Gaußsche Krümmung einer Fläche an einem Punkt ist das Produkt der Hauptkrümmungen an diesem Punkt. Die tangente Ebene eines beliebigen Punktes mit positiver Gaußschen Krümmung berührt die Fläche in einem einzelnen Punkt; die tangente Ebene eines beliebigen Punktes mit negativer Gaußschen Krümmung schneidet die Fläche. Alle Punkte mit einer mittleren Krümmung von null haben eine negative Gaußsche Krümmung oder eine von null.

Hauptkrümmungen

Die Hauptkrümmungen einer Fläche an einem Punkt sind die minimalen und maximalen Werte der normalen Krümmungen an diesem Punkt. (Die normalen Krümmungen sind die Krümmungen von Kurven auf der Fläche, die auf den Ebenen liegt, die den Vektor, der tangential zum gegebenen Punkt liegt, enthalten.) Hauptkrümmungen werden verwendet, um Gaußsche und mittlere Krümmungen der Fläche zu berechnen.

Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung einer Fläche an einem Punkt ist halb so groß wie die Summe der Hauptkrümmungen an diesem Punkt. Alle Punkte mit einer mittleren Krümmung von null haben eine negative Gaußsche Krümmung oder eine von null.

Flächen mit einer mittleren Krümmung von null in allen Punkten sind minimale Flächen. Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung werden oft CMC-Flächen (Constant Mean Curvature) genannt.

Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung haben in allen Punkten auf der Fläche die gleiche mittlere Krümmung.

Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung können zur Modellierung physikalischer Prozesse, wie die Erzeugung von Seifenblasen an Objekten angehängt oder frei, verwendet werden. Im Gegensatz zu einem einfachen Seifenfilm umschließt eine Seifenblase ein Volumen und existiert in einem Gleichgewicht, bei dem der leicht höhere Druck im Innern der Blase durch die Kräfte der minimalen Fläche der Blase ausgeglichen wird.

Minimale Flächen sind die Untermenge von Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung, bei der die Krümmung in allen Punkten null ist.

Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung können zur Modellierung physikalischer Prozesse, wie die Erzeugung von Seifenfilmen, die fixe Objekte spannt (z. B. Drahtschleifen), verwendet werden. Ein Seifenfilm wird nicht durch den Luftdruck (der auf beiden Seiten gleich ist) verzerrt und kann seine Fläche frei minimieren. Das steht im Gegensatz zur Seifenblase, die eine bestimmte Luftmenge einschließt und deren Druck innen und außen nicht gleich ist.

Wo befindet sich dieser Befehl?

Kurvenkrümmung

Flächenkrümmung

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